Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид ax + by + c = 0. В нем a, b и с – это коэффициенты – какие-то числа; а x и y – переменные – неизвестные числа, которые надо найти.

Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара чисел x и y, при которых ax + by + c = 0 – верное равенство.

У конкретного линейного уравнения с двумя переменными (например, 3x + 2y – 1 = 0) имеется множество решений, то есть множество пар чисел, при которых уравнение верно. Линейное уравнение с двумя переменными преобразовывается в линейную функцию вида y = kx + m, которая представляет собой прямую на координатной плоскости. Координаты всех точек, лежащих на этой прямой, являются решениями линейного уравнения с двумя переменными.

Если даны два линейных уравнения вида ax + by + c = 0 и требуется найти такие значения x и y, при которых оба они будут иметь решения, то говорят, что надо решить систему уравнений . Систему уравнений пишут под общей фигурной скобкой. Пример:

У системы уравнений может быть ни одного решения, если прямые, являющиеся графиками соответствующих линейных функций, не пересекаются (то есть параллельны друг другу). Чтобы сделать вывод об отсутствии решение, достаточно преобразовать оба линейных уравнения с двумя переменными к виду y = kx + m. Если в обоих уравнениях k – одно и то же число, то система не имеет решений.

Если система уравнений оказывается состоящей из двух одинаковых уравнений (что может быть очевидно не сразу, а после преобразований), то она имеет бесконечное множество решений. В данном случае говорят о неопределенности.

Во всех остальных случаях система имеет одно решение. Этот вывод можно сделать из того, что две любые непараллельные прямые могут пересечься лишь в одной точке. Именно эта точка пересечения будет лежать и первой прямой и второй, то есть являться решением и первого уравнения и второго. Следовательно являться решением системы уравнений. Однако следует оговорить ситуации, когда на значения x и y накладываются те или иные ограничения (обычно по условию задачи). Например x > 0, y > 0. В таком случае даже если система уравнений будет иметь решение, но оно не будет удовлетворять условию, то делается вывод, что система уравнений не имеет решений при заданных условиях.

Решить систему уравнений можно тремя способами:

1. Методом подбора. Чаще всего это очень сложно сделать.
2. Графическим методом. Когда чертятся на координатной плоскости две прямые (графики функций соответствующих уравнений) и находится их точка пересечения. Данный метод может дает не точные результаты, если координаты точки пересечения – дробные числа.
3. Алгебраическими методами. Они являются универсальными и надежными.

Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

С линейными уравнениями с двумя переменными мы имеем дело в 7, 8 классах и в более старших.

Линейное уравнение с двумя переменными определение

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c называется линейными уравнениями с двумя переменными.

Здесь a, b и c - числа, x и y - переменные.

Линейное уравнение с двумя переменными пример

Пример линейного уравнения с двумя переменными

В этом уравнении две переменные x и y, a = 8, b = 4, c = 5.

Линейное уравнение с двумя переменными

Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в истинное равенство.

Решите линейное уравнение с двумя переменными

Как решать линейные уравнения с двумя переменными?

Пример. Решите уравнение

Выразим переменную игрек через переменную икс.

Для этого перенесем 8x в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный

Разделим обе части уравнения на четыре

Выбираем произвольное значение икса, пусть это будет 7.

Подставляем 7 вместо икса и находим значение игрека

Y = -2 * 7 + 1,25 = −12,75

Теперь у нас есть пара значений переменных x = 7 и y = −12,75, обычно эту пару чисел записывают в скобках (7; −12,75), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.

Инструкция

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в уравнении «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете проверить, что корни найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или вычитании «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте знаки на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Видео по теме

При решении дифференциальных уравнений не всегда явно доступен аргумент x (или время t в задачах физических). Тем не менее – это упрощенный частный случай задания дифференциального уравнения, что часто способствует упрощению поиска его интеграла.

Инструкция

Рассмотрите физическую задачу, приводящую к дифференциальному уравнению, в котором отсутствует аргумент t. Это задача о колебаниях массой m, подвешенного на нити длиной r, расположенной в вертикальной плоскости. Требуется уравнение движения маятника, если в начальный был неподвижен и отклонен от состояния равновесия на угол α. Силами следует пренебречь (см. рис. 1a).

Решение. Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити в точке О. На точку действуют две силы: сила тяжести G=mg и сила натяжения нити N. Обе эти силы лежат в вертикальной плоскости. Поэтому для решения задачи можно применить уравнение вращательного движения точки вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Уравнение вращательного движения тела имеет вид, приведенный на рис. 1b. При этом I - момент инерции материальной точки; j - угол поворота нити вместе с точкой, отсчитываемый от вертикальной оси против часовой стрелки; M - момент сил, приложенных к материальной точке.

Вычислите эти величины. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Но M(N)=0, так как линия действия силы проходит через точку О. M(G)=-mgrsinj. Знак «-» обозначает, что момент силы направлен в сторону противоположную движению. Подставьте момент инерции и момент силы в уравнение движения и получите уравнение, отображенное на рис. 1с. Сокращая массу, возникает соотношение (см. рис. 1d). Здесь нет аргумента t.

Цели урока:

• Образовательные :
  • повторить тему: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»;
  • обеспечить усвоение учащимися понятия линейных уравнений с двумя переменными и их решением.
• Развивающие :
  • формировать интеллектуальные способности:
  • умение сравнивать, строить аналоги, выделять главное;
  • умение обобщать и систематизировать пройденный материал;
  • развивать логическое мышление, память, воображение, математическую речь;
  • развивать активную познавательную деятельность.
• Воспитательные :
  • воспитывать самостоятельность, активность, заинтересованность учащихся на всех этапах урока;
  • формировать такие качества характера, как усидчивость, настойчивость, целеустремлённость.

Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:

• учить выделять главную мысль в тексте;
• учить задавать вопросы учителю, самому себе или ученикам;
• учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;
• учить умению математически правильно высказать свою мысль.

Задачи, которые должны решать ученики на данном уроке:

• знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
• уметь составлять простые линейные уравнения;
• уметь правильно находить значения переменных а, в и с;
• уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с двумя переменными;
• ответить на вопрос: что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
• как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?
• уметь выразить одну переменную через другую.

Тип урока: урок усвоения нового материала.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение пройденного материала

1) На доске записи: 2х, 2х + 5 , 2х + 5 = 17.

2) Вопросы к классу:

– Дайте определение этим выражениям. (Ожидаемые ответы: произведение, одночлен, сумма, многочлен, уравнение.)
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы знаете?

III. Актуализация знаний учащихся

3) Задание всему классу:

– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски) .

а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) = б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =

После преобразования получили: а) 10х; б) 4х + 6у:

– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске) : 10х = 30; 4х + 6у = 28.

Вопросы:

– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните второе уравнение с первым. Попробуйте сформулировать определение второго уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя переменными; акцентируется внимание учащихся на вид уравнения – линейное).

IV. Изучение нового материала

1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной беседы, диалога – рассуждения.

2) Задание классу:

а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске).

б) Совместно с учениками определяются задачи и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке. Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.

в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:

– Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными а) 6х 2 = 36; б) 2х – 5у = 9: в) 7х + 3у 3 ; г) 1/2х + 1/3у = 6 и т.д. Проблема может возникнуть с уравнением х: 5 – у: 4 = 3 (знак деления нужно записать в виде дроби). Какие свойства равносильности уравнений нужно применить? (Ответы учащихся) Определите значения коэффициентов а , в и с .

– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение) .

Пример : Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или х = …; у = …. Сколько решений имеет уравнение?

Примеры : Найдите решения следующих уравнений а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4. Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали) .

– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?

3) Работа с учебником.

– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока

а) Устное выполнение заданий: №1092, №1094.

б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся), №1097 (для сильных).

в) Повторить свойства равносильности уравнений.

Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске с последующим объяснением).

г) Выполнение примера № 1099 (один из учащихся выполняет задание у доски).

Историческая справка

1. Ребята, уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются Диофантовыми линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.

2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.

V. Итог урока

1) Обобщение пройденного материала на уроке. Ответы на все вопросы, поставленные перед учениками в начале урока:

– Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
– Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
– Как записывается это решение?
– Какие уравнения называются равносильными?
– Назовите свойства равносильности уравнений?
– Какие задачи мы на уроке решали, на какие вопросы отвечали?

2) Выполнение самостоятельной работы.

Для слабых:

– Найдите значения переменных а, в и с в уравнении –1,1х + 3,6у = – 34?
– Найдите хотя бы одно решение уравнения х – у = 35?
– Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными 2х – у = 4?

Для сильных:

– Составьте линейное уравнение с двумя переменными к задаче Диофанта: Во дворе дома ходят фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26.
– Выразите переменную у через х в уравнении 3х – 5у = 8.

VI. Сообщение домашнего задания

Просмотр всех заданий по учебнику, беглый анализ каждого задания, выбор задания.

• Для слабых учащихся: № 1093, № 1095б).
• Для сильных: 1) №1101, №1104 (а). 2) решить задачу Диофанта, найти все натуральные решения этого уравнения.

Дополнительно, по желанию учащихся – №1105.

Вместо заключения: Я работаю учителем математики более 40 лет. И хочу заметить, что открытый урок – не всегда бывает самым лучшим уроком. Очень часто случается так, что иногда обычные уроки приносят учителю больше радости и удовлетворения. И тогда с сожалением думаешь, что никто не увидел этого урока – творения учителя и учащихся.

Урок – это единый организм, единое целое, именно на уроке приобретается личностный и нравственный опыт воспитания, как учащихся, так и учителя. 45 минут урока – это так много и так мало. Много – потому что за это время можно с учениками «заглянуть» в глубину веков и, «вернувшись» оттуда, узнать очень много нового, интересного, и ещё успеть изучить новый материал.

До каждого ученика нужно довести понимание того, что именно математика является базисом интеллектуального развития человека. А основой для этого является развитие логического мышления. Поэтому перед каждом уроком ставлю себе и ученикам цель: научить учащихся успешно работать с определениями, умело отличать неизвестное от известного, доказанное от недоказанного, анализировать, сравнивать, классифицировать, ставить перед собой вопросы и научиться умело их решать. Пользоваться аналогиями, но если не сможешь выбраться самостоятельно, то рядом с тобой не только учитель, но главный твой помощник – книга.

Конечно, открытый урок является некоторым итогом творческой работы учителя. И учителя, присутствовавшие на данном уроке, должны обратить внимание на главное: систему работы, новизны, идею. Здесь, я думаю, особо важного значения не имеет какую методику преподавания применяет учитель на уроке: старую, современную или новые инновационные технологии, главное, чтобы её применение была уместна и эффективна для учителя и учащихся.

Я очень рада, что в моей жизни есть школа, дети, уроки и такие добрые коллеги. Спасибо вам всем!

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;